Highlight of 3 ans de maths au collège

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Les maths du cycle 4 : 5ème, 4ème, 3ème

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Le cycle des approfondissements

Cette vidéo fait le tour du programme de mathématiques du cycle 4 qui est le cycle des approfondissements et concerne les classes de 5ème, 4ème et 3ème.

Six compétences à développer

Le programme de maths permet de développer six compétences clefs : chercher , modéliser , représenter, raisonner, calculer et communiquer.

Craindre l'erreur et craindre la vérité est une seule et même chose. Celui qui craint de se tromper est impuissant à découvrir. C'est quand nous craignons de nous tromper que l'erreur qui est en nous se fait immuable comme un roc. - Alexandre Grothendieck

4 thèmes classiques + 1

Ce programme de maths peut être décomposé en 4 grands thèmes classiques : les nombres et calculs, l'organisation et la gestion de données, les grandeurs et la géométrie. Et il existe maintenant un thème supplémentaire : les algorithmes !

On ne peut le comprendre (l'Univers) si d'abord on n'apprend pas à comprendre la langue et à connaître les caractères dans lesquels il est écrit. Il est écrit en langage mathématique, et les caractères sont des triangles, des cercles, et d'autres figures géométriques, sans lesquelles il est impossible d'y comprendre un mot. Dépourvu de ces moyens, on erre vainement dans un labyrinthe obscur. - Galilée

Les nombres décimaux

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Reconnaître un nombre décimal

Un nombre décimal, c'est un nombre qui peut s'écrire sous la forme d'une fraction décimale.

Entre deux nombres décimaux consécutifs, s'intercalent dix nombres décimaux (en comptant le chiffre zéro) de l'ordre immédiatement inférieur. - René Villemer (1947)

Comparer et encadrer des nombres décimaux

<, > ou = ? Comment comparer et encadrer les nombres décimaux ?

Et sais-tu que l'on peut toujours intercarler un nombre entre deux nombres décimaux ?

Calculer mentalement

Savoir multiplier ou diviser rapidement par 10,100,1000...

Savoir multiplier ou diviser rapidement par 0,1 , 0,01 , 0,001...

Représenter un nombre décimal

On peut représenter un nombre décimal de diverses manières : en écriture décimale (c'est-à-dire de manière classique), sur une droite graduée, sous une forme décomposée, sous la forme d'une fraction ou encore en notation scientifique.

Poser des calculs

On peut additionner , soustraire , multiplier et diviser des nombres décimaux. On doit savoir poser ces opérations (attention on oublie vite!) mais aussi savoir les effectuer à l'aide d'une calculatrice.

2+2x2 est égal à ? Certaines opérations sont prioritaires sur d'autres. Mais lesquelles ?

Les pourcentages

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Une situation ramenée à 100

Un pourcentage, c'est une proportion pour une situation ramenée à 100. Sur la vidéo, on compte 45 snowboarders sur un total de 60 descendeurs, soit 3 personnes sur 4. Dans une situation ramenée à 100 descendeurs, on aurait 75 snowboarders... Un pourcentage suppose une situation de proportionnalité (voir ce chapitre!)

Utiliser des pourcentages permet de comparer plus facilement des proportions car le dénominateur est toujours le même, à savoir 100.

Calculer une réduction

Que signifie une baisse ou une réduction de 5% ?

Calculer une augmentation

Que signifie une hausse ou une augmentation de 15% ?

Calculer un pourcentage

Comment déterminer un pourcentage ?

Appliquer un pourcentage

Comment appliquer un pourcentage ?

Les nombres relatifs

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Des nombres négatifs et des nombres positifs

Les nombres relatifs sont constitués des nombres négatifs et des nombres positifs.

Les nombres négatifs rendent la soustraction toujours possible. Exemple : 2-5 = -3

Calculer avec des nombres relatifs

Il est possible d'ajouter, de soustraire, de multiplier et de diviser des nombres relatifs.

Repérage dans un plan

Les nombres relatifs permettent de repérer tous les points d'un plan à l'aide d'un repère muni de deux axes.

Représenter des nombres relatifs

Tout comme avec les nombres décimaux, on peut représenter les nombres relatifs de diverses façons : en écriture décimale (manière classique), sous la forme d'une fraction, sur une droite graduée ou encore en notation scientifique.

Comparer des nombres relatifs

<, > ou = ? Comment comparer des nombres relatifs ?

Les symétries

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La symétrie centrale

La symétrie centrale est une nouvelle transformation. Elle consiste à faire faire un demi-tour à une figure autour d'un point.

Comment construire le symétrique par rapport à un point ?

Effets des symétries

Les symétries axiales et centrales conservent les longueurs, les angles et les aires.

Deux droites symétriques par rapport à un point (symétrie centrale) sont parallèles. Attention, cela est faux avec la symétrie axiale.

La symétrie axiale

Cette symétrie a déjà étudié pendant le cycle 3. Comment construire le symétrique par rapport à une droite ?

Axes et centres de symétrie

Le flocon de neige de la vidéo possède un centre de symétrie (il se superpose à lui-même si on lui fait faire un demi-tour)

Ce même flocon possède aussi des axes de symétries. Combien au total ?

Les triangles

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Un polygone à trois côtés, trois angles

Le triangle est l'une des figures planes les plus étudiés au collège car c'est le polygone le plus élémentaire : trois côtés, trois angles !

Les hauteurs d'un triangle

Un triangle possède plusieurs droites remarquables et notamment des hauteurs.

Connaître une hauteur d'un triangle est pratique pour calculer son aire.

Des triangles égaux

On appelle "triangles égaux" des triangles "superposables".

Pour que deux triangles soient égaux, certaines conditions doivent être réunies.

Des triangles rectangles

Les triangles rectangles sont beaucoup étudiés au cycle 4.

Ils sont concernés par le théorème de Pythagore mais aussi par les relations trigonométriques... Regarde ces chapitres pour en savoir plus !

Peut-on construire un triangle ?

Cela dépend de l'inégalité triangulaire...

Angles d'un triangle

La somme des angles d'un triangle est de ...180° !

Un triangle isocèle a deux angles de même mesure à sa base. Un triangle équilatéral a trois angles de même mesure égale à 60°.

Si un triangle a deux angles égaux alors c'est un triangle isocèle.

Des triangles semblables

On appelle "triangles semblables" des triangles qui ont des angles de la même mesure.

Deux triangles semblables ne sont pas forcément deux triangles égaux mais deux triangles égaux sont forcément semblables...

Droites et angles

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Des angles droits, des droites perpendiculaires

Et oui, pas de droite perpendiculaire sans angle droit et réciproquement.

La droite perpendiculaire la plus connue du cycle 4 est sans doute la médiatrice !

Des angles particuliers

Des droites qui se croisent créent différents angles : opposés par le sommet, alternes-internes, correspondants, adjacents...

Ces angles ont différentes propriétés...à connaître !

Parallélogrammes

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Un quadrilatère particulier

Un parallélogramme est un quadrilatère qui possède un centre de symétrie.

Les côtés opposés ?

Les côtés opposés sont de la même longueur et parallèles.

Le rectangle ?

C'est un parallélogramme particulier ! C'est juste qu'il possède 4 angles droits.

Ses diagonales sont de la même longueur.

Le carré ?

C'est à la fois un parallélogramme, un rectangle et un losange ! Il possède un centre de symétrie, 4 angles droits et tous ses côtés sont de la même longueur.

Les diagonales ?

Elles se coupent en leur milieu

Les angles ?

Les angles opposés sont de la même mesure. Deux angles consécutifs forment un angle de 180°...

Le losange ?

C'est un parallélogramme particulier ! C'est juste que ses côtés sont tous de la même longueur.

Ses diagonales sont perpendiculaires.

Algorithmes

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Un algorithme ?

C'est une suite d'instructions exécutée dans un ordre précis.

Un algorithme est écrit dans un langage qui doit être compris par celui qui l'écrit et celui qui l'exécute (une machine)

Variable

C'est une donnée qu'un algorithme stocke.

Boucle répéter

Elle sert à répéter plusieurs fois les mêmes instructions.

Le logiciel Scratch

C'est un logiciel qui permet d'écrire des algorithmes. Il est très utilisé au collège.

Instruction conditionnelle

C'est une instruction qui ne se réalise que si une certaine condition est remplie.

Divisibilité et nombres premiers

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Multiples / Diviseurs ?

21 est-il un multiple de 7 ? Oui, car 7x3=21

4 est-il un diviseur de 28 ? Oui car 4x7=28

Division euclidienne

20 personnes attendent de prendre un télésiège. 2 télésièges passent. Combien de personnes restent-ils encore ? Pour le savoir : la division euclidienne !

Décomposition en produits de facteurs premiers

Tous les nombres entiers (sauf 0 et 1) peuvent se décomposer en un produit de facteurs premiers.

15 = 3x5

Critères de divisibilité

Ces critères permettent de savoir si un nombre est divisible ou pas par 2,3,4,5,9 ou 10...!

Un nombre est-il premier ?

Un nombre est premier s'il possède exactement deux diviseurs : 1 et lui-même.

5 est premier mais 6 non !

Fraction irréductible

Une fraction est dite irréductible si on ne peut plus la simplifier, c'est-à-dire qu'on ne peut plus trouver de diviseur commun au numérateur et au dénominateur.

Grandeurs composées

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Grandeurs quotients

Les grandeurs quotient sont les grandeurs construites avec une division de deux autres grandeurs. Exemples : la vitesse moyenne, la densité de population (habitants/km²), la masse volumique (kg/m^3)

Grandeurs produits

Les grandeurs produits sont les grandeurs construites avec une multiplication de deux autres grandeurs. Exemples : l'aire, le volume (voir ces chapitres!)

Théorème de Pythagore

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Ce fameux théorème de Pythagore !

Ce théorème concerne uniquement les triangles rectangles et permet de calculer la longueur d'un côté quand on en connaît deux autres !

La racine carrée

Connaître le fonctionnement de la racine carrée est indispensable pour utiliser le théorème de Pythagore. Il est aussi très conseillé de connaître quelques carrés parfaits.

Aller plus loin

Au fait, pourquoi le théorème de "Pythagore" ?

Sais-tu qu'il existe des dizaines de démonstration du théorème de Pythagore ?

Un triangle est-il rectangle ?

La réciproque du théorème de Pythagore permet de déterminer si un triangle est rectangle ou pas quand on connaît les longueurs des côtés du triangle. Si l'égalité de Pythagore est vérifiée alors le triangle est rectangle !

Vu au brevet

La figure 1 de l'exercice 3 du Brevet 2016 concerne Pythagore...

Trigonométrie

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Sinus, Cosinus, Tangente

Sinus, consinus, tangente... ils permettent de faire le lien entre la mesure d'un angle et les longueurs des côtés d'un triangle rectangle !

Calculer un angle d'un triangle rectangle

Quelle est la valeur de l'angle alpha de la vidéo ? Et oui, en connaissant deux côtés d'un triangle rectangle, on peut calculer tous ses angles...

Calculer un côté d'un triangle rectangle

Si on connaît un angle (pas l'angle droit!) dans un triangle rectangle et la longueur d'un côté, on peut calculer la longueur des autres côtés à l'aide des relations trigonométriques.

Se repérer

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Se repérer sur une droite graduée

Pour repérer un point sur une droite graduée, il faut lire son abscisse...tout simplement !

Se repérer sur une sphère

Pour se repérer sur la Terre, on l'assimile à une sphère. La latitude et la longitude permettent de repérer n'importe quel point.

Se repérer dans le plan

Pour se repérer dans le plan, on le muni de deux axes graduées : l'axe des abscisses et l'axe des ordonnées.

Se repérer dans un pavé droit

Pour se repérer dans un pavé droit, on le munit de trois axes graduées : l'axe des abscisse, l'axe des ordonnées et l'axe des altitudes.

Agrandissements / Réductions

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Effets sur les longueurs

Agrandir une figure, c'est multiplier toutes les longueurs par un même nombre > 1. Réduire, c'est multiplier par un même nombre < 1. On est dans une situation de proportionnalité.

Echelle d'un plan

L'échelle d'un plan permet de connaître le lien entre la longueur sur le dessin et la longueur réelle.

Effets sur les volumes

Agrandir ou réduire un solide d'un facteur k multiplie son volume par k au cube.

Effets sur les angles

Les mesures des angles d'une figure agrandie ou réduite sont conservées.

Effets sur les aires

Agrandir ou réduire une figure d'un facteur k multiplie son aire par k²

Calcul littéral

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Les expressions littérales

Dans une expression littérale, certains nombres sont remplacés par des lettres. Souvent, c'est parcequ'on ne connaît pas ces nombres.

Quelques règles d'écriture sont à connaître...

Au fait, savez-vous pourquoi le nombre inconnu est souvent noté x ?

Utiliser des identités remarquables

Connaître des identités remarquables permet de résoudre encore plus efficacement les problèmes.

Manipuler une expression littérale

Les expressions littérales permettent (si on sait les manipuler!) de résoudre des problèmes. Il faut savoir simplifier, réduire, développer et factoriser les expressions littérales !

Nombres rationnels

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Sous la forme d'une fraction

Les nombres rationnels sont tous les nombres qui peuvent s'écrire sous la forme d'une fraction.

Certains nombres ne sont pas rationnels comme racine carrée de 2 ou le nombre pi.

Comparer des fractions

Comment comparer deux fractions ?

Calculer avec des fractions

On peut additionner , soustraire , multiplier et diviser des fractions.

Repérer une fraction

Sur une droite graduée

Fractions égales

Deux fractions sont égales si on peut passer de l'une à l'autre en multipliant (ou divisant) par un même nombre le numérateur et le dénominateur.

Rotations

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Autour d'un point

Une rotation de centre O et d'angle a permet de faire tourner une figure autour du point O d'un angle a sans la déformer.

Effets sur la figure

La rotation conserve les longueurs, les aires, les mesures d'angle et l'alignement.

Translations

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Glisser selon des droites parallèles

Une translation permet de faire glisser une figure parallèlement à une droite sans déformer ni retourner cette figure.

Effets sur la figure

La translation conserve les longueurs, les aires, les mesures d'angles et l'alignement.

Equations / Inéquations

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Des égalités pour résoudre des problèmes

Une équation est une égalité avec une inconnue.

Une égalité peut être vraie ou fausse.

Trouver la solution d'une équation, c'est déterminer les valeurs des inconnues pour lesquelles l'égalité est vraie.

Des inégalités pour résoudre des problèmes

Une inéquation est une inégalité avec une inconnue

Une inégalité peut être vraie ou fausse.

Trouver les solutions d'une inéquation, c'est déterminer les valeurs de l'inconnue pour lesquelles l'inégalité est vraie.

Proportionnalité

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Une situation de proportionalité ?

On est dans une situation de proportionalité lorsque deux grandeurs sont liées par une multiplication : on passe de l'une à l'autre en multipliant par un même nombre appelé coefficient de proportionnalité.

Une droite qui passe par l'origine ?

Si on représente une situation de proportionnalité sur un graphique, on obtient une droite qui passe par l'origine.

Réciproquement, des points alignés avec l'origine sur un graphique correspondent à une situation de proportionnalité.

Tableau de proportionnalité

Pour représenter une situation de proportionnalité, on utilise souvent un tableau de proportionnalité.

Quelques règles de proportionnalité très pratiques peuvent alors s'appliquer !

Fonctions

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Des grandeurs dépendantes

Certaines grandeurs sont dépendantes l'une de l'autre. On peut représenter cette dépendance par un tableau, un graphique ou une formule.

Les fonctions linéaires

Une fonction linéaire traduit une situation de proportionnalité. Sa représentation graphique est une droite qui passe par l'origine.

Les fonctions pour modéliser la dépendance

Lorsqu'on a deux grandeurs dépendantes l'une de l'autre, on peut modéliser cette situation par une fonction.

Une fonction associe à un nombre un seul et unique autre nombre.

Les fonctions affines

La représente graphique d'une fonction affine est une droite.

C'est une fonction qui à un nombre x associe une expression du type ax+b avec a et b des nombres fixes.

Solides

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Les principaux solides

Les principaux solides étudiés au collège sont : les prismes droits, les cylindres de révolution, les cônes de révolution, les pyramides et les boules.

Sectionner des solides

Réaliser des sections planes de solides permet de mieux les étudier.

Représenter un solide

Un solide peut être représenté de diverses manières : en perspective, de dessus, en face, en coupe. On peut aussi réaliser des patrons.

Aires

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Connaître quelques formules

Quelques formules sont à connaître : l'aire d'un carré, d'un rectangle, d'un triangle, d'un parallélogramme, d'un disque...

Et il faut savoir les utiliser.

MAnipuler des unités d'aire

Comment passer d'une unité à l'autre ?

Volumes

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Connaître quelques formules

Quelques formules de volume sont à connaître : pour le prisme droit, la pyramide, le cylindre, le cône ou encore la boule.

Bien sûr, il faut savoir les utiliser...!

Vu au brevet

L'exercice 7 du brevet 2016 concernait les volumes...

Manipuler des unités de volume

mètre cube, décimètre cube, litre, millilitre... Comment passer d'une unité à l'autre ? Avec un tableau de conversion à connaître par coeur et à savoir utiliser.

Savoir manipuler les unités de volume, c'est aussi connaître quelques références. Que représente 1 centimètre cube ? Et 1 litre ?

Théorème de Thalès

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Le théorème de Thalès

Il concerne deux triangles semblables. Il permet de calculer les longueurs de l'un en connaissant les longueurs de l'autre.

Réciproque du théorème de Thalès

La réciproque du théorème de Thalès permet de déterminer si deux droites sont parallèles ou non.

Statistiques

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Organiser, lire et représenter des données

Les données peuvent être organisées de diverses manières : dans un tableau, dans un diagramme en bâtons, un diagramme circulaire, un histogramme.

Il s'agit de savoir lire ces représentations et de savoir passer de l'une à l'autre.

Moyenne

Savoir calculer une moyenne simple et une moyenne pondérée

Médiane

Savoir calculer une médiane d'une série de données permet de connaître un peu mieux la répartition des données.

Effectifs / Fréquences ?

Combien de données avons-nous ? Lesquelles sont les plus fréquentes ? Pour déterminer cela, on calcule des effectifs et des fréquences.

Etendue

Valeur maximale - valeur minimale !

Puissances

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Puissance d'exposant positif

La puissance d'un nombre est une notation. A quoi correspond-t-elle ?

On distingue les puissances d'exposant positif et celles d'exposant négatif

La notation scientifique

Tous les nombres décimaux peuvent s'écrire en notation scientifique. Cela permet de comparer facilement les très petits et très grands nombres.

Les puissances de 10 et les préfixes

Que signifie "nano", "tera", "giga" ? C'est lié aux puissances de 10 !

Probabilités

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Mesurer le hasard ?

Les probabilités visent à quantifier le hasard.

Le hasard est vu comme une expérience aléatoire, c'est-à-dire qu'on connaît les résultats possibles de l'expérience mais on ne sait pas lequel va se produire...

Dans le contexte d'équiprobabilité

Lorsque toutes les issues d'une expérience aléatoire ont la même chance de se produire, on dit qu'on est dans un cas d'équiprobabilité.

Dans ce cas, calculer des probabilités est plus simple.

Des issues et des évènements

Les résultats possibles d'une expérience sont appelés issues.

On appelle événement, une ou plusieurs issues.

Lien avec la fréquence

Lorsqu'on répète un grand nombre de fois une même expérience aléatoire, la fréquence d'un événement se stabilise autour d'un nombre correspondant à la probabilité de l'événement.

Réviser pour le brevet

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Le brevet 2017

Ici, le sujet le corrigé du brevet 2017 en mode Highlight Of.